已知点M在椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)上,以M为圆心的圆与x轴相切与椭圆右焦点F。
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解决时间 2021-02-04 04:43
- 提问者网友:星軌
- 2021-02-03 09:38
(1)若圆M与y轴相切,求椭圆的离心率。(2)若圆M与y轴相交于A,B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程。
最佳答案
- 五星知识达人网友:一叶十三刺
- 2021-02-03 10:45
(1)设椭圆左焦点为F1(-c,0),右焦点为F2(c,0)。
连接F1M和F2M
由题意得M(c,c)
因为F1F2=2c,MF2=c
勾股得Mf1=√5c
所以2a=MF1+MF2=(√5+1)c
所以离心率e=c/a=√5-1
(2)因为三角形ABM是边长为2的正三角形,过定点M的三角形的高=√3
即c=√3
所以F1(-√3,0),F2(√3,0)
MA=MB=MF2=圆的半径=2
所以M(√3,2)
所以2a=MF1+MF2=6(距离公式)
所以b方=a方-c方=6
所以椭圆方程为x^2/9+y^2/6=1
连接F1M和F2M
由题意得M(c,c)
因为F1F2=2c,MF2=c
勾股得Mf1=√5c
所以2a=MF1+MF2=(√5+1)c
所以离心率e=c/a=√5-1
(2)因为三角形ABM是边长为2的正三角形,过定点M的三角形的高=√3
即c=√3
所以F1(-√3,0),F2(√3,0)
MA=MB=MF2=圆的半径=2
所以M(√3,2)
所以2a=MF1+MF2=6(距离公式)
所以b方=a方-c方=6
所以椭圆方程为x^2/9+y^2/6=1
全部回答
- 1楼网友:七十二街
- 2021-02-03 11:36
(1)圆和x轴、y轴都相切,且圆与x轴切与右焦点,不妨设圆心坐标为m(c,c),c为焦距。那么圆心坐标m在椭圆上,带入椭圆方程,为c²/a²+c²/b²=1,又有a²=b²+c²,则b²=a²-c²,带入方程,为c²/a²+c²/(a²-c²)=1,对于c²/(a²-c²)项,分子分母都除以a²,那么可以得到e²+e²/(1-e²)=1,整理得(e²)²-3e²+1=0,并根据0<e<1,e²=(3-√5)/2,再求e就不难了
(2)由题意,不妨设圆心坐标m为(√3,2),带入原方程,为3/a²+4/b²=1,c=√3,且a²=b²+c²,3个未知数3个方程,解得a²=9,b²=6,所以椭圆方程为x²/9+y²/6=1
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