以知直线过P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，求三角形OAB面积的最小值

帮帮忙，谢谢拉，

我们可以设直线的方程为y=kx+b

因为直线经过点（2.1）

所以把它代入直线方程得1=2k+b 于是b=1-2k 直线方程写成y=kx+1-2k

又因为直线交x轴、y轴的正半轴，所以有k小于0

A点的坐标为（(2k-1)/k,0),B点的坐标为(0,1-2k)

所以三角形OAB的面积为0.5*[(2k-1)/k]*(1-2k)=2-2k-1/(2k)

因为k<0, 所以 -2k-1/(2k)>=2 (当k=-0.5时取等于）

所以三角形OAB面积的最小值为2+2=4

直线除了必须过P(2,1)外没有任何条件约束,当直线通过原点时,A,B,O重合,三角形OAB面积最小S=0

这时直线在x轴截距为0. 设直线方程为y=kx 把P(2,1)代入:2=k*1 k=1/2

得出直线方程为: y=x/2

(以下用通常解题方法求解:

设直线方程为 y=kx+b ,因为经过P(2,1) 所以 1=2k+b b=1-2k

所以 y=kx-2k+1

直线在x轴的截距x0: 0=kx0-2k+1 x0=(2k-1)/k OB=x0=(2k-1)/k

直线在y轴的截距y0: y0=k*0-2k+1=-2k+1 OA=y0=-2k+1

三角形OAB面积 S=1/2* OA*OB

=1/2*(-2k+1)(2k-1)/k

=-(2k-1)²/(2k)

=-(2k-2+1/(2k))

=(√(2k)-√(1/(2k)))²>=0

当√(2k)=√(1/(2k) ) 时 三角形面积最小 S=0 , 这时 2k=1/(2k) k=1/2

直线方程为: y=x/2

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