已知a1=1，an+1=an+1n2+n，则a2014=______

已知a1=1，an+1=an+1n2+n，则a2014=______．

∵an+1=an+
1
n2+n ，
∴an+1?an＝
1
n(n+1) ＝
1
n ?
1
n+1 ，
则a2?a1＝1?
1
2 ．
a3?a2＝
1
2 ?
1
3 ．
a4?a3＝
1
3 ?
1
4 ．
…
an?an?1＝
1
n?1 ?
1
n ．
累加得：an?a1＝1?
1
n ，
又a1=1，
∴an＝2?
1
n ．
∴a2014＝2?
1
2014 ＝
4027
2014 ．
故答案为：
4027
2014 ．

解： 1、a(n 1)=2an/(an 1) 所以a(n 1)*an a(n 1)=2an 所以1 1/an=2/a(n 1) 所以1/an-1=2[1/a(n 1)-1] 所以[1/a(n 1)-1]/[1/an-1]=1/2（为常数） 所以数列｛1/an-1｝是等比数列 2、因为1/an-1=(1/a1-1)*(1/2)^(n-1) 所以1/an=(1/2)^n 1 所以n/an=n(1/2)^n n 设tn为n(1/2)^n的前n项和【错位相减法】 tn=1*(1/2) 2*(1/2)^2 ... n*(1/2)^n 。。。。。。。。。。。。。（1） (1/2)t(n)= 1*(1/2)^2 ... (n-1)*(1/2)^n n*(1/2)^(n 1)。。。。。。（2） （1）-（2）得： (1/2)tn=(1/2) (1/2)^2 ... (1/2)^n-n*(1/2)^(n 1)=[1-(1/2)^n]-n*(1/2)^(n 1) 所以tn=2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n 又因为数列｛n｝的前n项和gn=n*(n 1)/2 所以sn=tn gn =2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n n*(n 1)/2

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