己知,如图等腰三角形ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E.F分别为AB.AC上的点，且满足EA=CF.求证：DE=DF。

己知,如图等腰三角形ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E.F分别为AB.AC上的点，且满足EA=CF.求证：DE=DF。

连接AD

因为三角形ABC为等腰直角三角形

所以AD=DC

角EAD=角C

所以在三角形EAD和三角形FCD中

(角EAD=角C

(AD=CD

(AE=CF

所以三角形EAD全等于三角形FCD

所以DE=DF

(1)连DE,DF,AD,EF.因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以AD=BD,角DAF=角DBE=45度，又BE=AF，所以三角形DAF全等于三角形DBE,从而 DE=DF, 角BDE=角ADF.这样角EDF=角EDA+角ADF=角EDA+角BDE=角BDA=90度，所以三角形DEF是等腰直角三角形。 DE=DF

连接DA

因为△ABC是等腰直角三角形，所以AD⊥DC，且AD=DC

因为ED⊥DF，所以∠EDA=∠FDC

因为∠C=∠DAC=45°

所以△ADE≌△CDF

所以DE=DF

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