数学应用题难

某校举行运动会，由若干个同学组成一个8列的长方形队列。如果圆队列中加120人，就能组成一个正方形队列，减少120人也能组成正方形队列。问原长方形队列有多少人？

解：设长方形队列中原有8k 人，增加120人后可以排成m列的方阵，减少120人后可排成n列的方阵，则：

    8k+120 = m^2 ........(1)

    8k-120 =  n^2..........(2)

 两式可以分别变形为： k = (m^2)/8  - 15

    k = (n^2)/8  + 15

因为k为正数，所以，m 、n 必须是4的倍数，设：m = 4a    n=4b

(1) - (2) ，得：m^2-n^2 = 240    即：16a^2 - 16b^2 = 240

    (a+b)(a-b) = 5*3 = 15*1

解方程组：

a+b = 5    a+b = 15

a-b =  3    a-b = 1

得：a= 4   b=1    或 a=8  b = 7

当a=4  b= 1 时，m = 16    n = 4    8k = 16^2 - 120 = 136  人。

当a=8  b=7  时，m = 32    n = 28    8k = 32^2 - 120 = 904   人。

设两正方形是边长是a，b，原有x人

有a^2=x+120

   b^2=x-120

a^2-b^2=240

(a-b)(a+b)=240

240=2^4*5*3

x是8的倍数，a，b都是2的倍数

a-b，a+b也是2的倍数

a-b=2

a+b=120

a-b=4

a+b=60

a-b=6

a+b=40

a-b=8

a+b=30

a-b=10

a+b=24

a-b=12

a+b=20

检验后

a-b=4    a=32  b=28   x=904

a+b=60

a-b=12    a=16  b=4    x=136

a+b=20

都合题意。

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