（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；（2）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c

（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；（2）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c＝1，求证(1a?1)(1b?1)(1c?1)≥8．

解答：证明：（1）要证a2+b2+c2＞ab+bc+ca，只需证2（a2+b2+c2）＞2（ab+bc+ca）
即证（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2＞0，
因为a，b，c是不全相等的实数，所以（a+b）2＞0，（b+c）2＞0，（a+c）2＞0，
所以（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2＞0显然成立．
所以a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
（2）∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴(
1
a ?1)(
1
b ?1)(
1
c ?1)＝
b+c
a ?
a+c
b ?
a+b
c ≥
2



bc
a ?
2



ac
b ?
2



ab
c =8
当且仅当a=b=c=
1
3 时等号成立．

∵（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0

∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca

3（a²+b²+c²）≥2（a²+b²+c²）+ab+bc+ca

≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)²

a²+b²+c²≥1/3(a+b+c)²

而(a+b+c)²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）≥3（ab+bc+ca）

即1/3(a+b+c)²≥ab+bc+ca

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