已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an2+an-2Sn=0，cn=anbn，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若b1

已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an2+an-2Sn=0，cn=anbn，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若b1=1，2bn-bn-1=0（n≥2，n∈N*），求出数列{cn}的前n项和Tn并判断是否存在整数m、M，使得m＜Tn＜M对任意正整数n恒成立，且M-m=4？说明理由．

解答：（本题满分15分）
解：（1）令n＞1，
a 2
n?1
+an?1?2Sn?1＝0，
所以（an-an-1）（an+an-1）+an-an-1-2an=0，
（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
an-an-1=1，
令n=1
则
a 2
1
+a1?2a1＝0?a1＝1．
从而，an=1+（n-1）=n．
（2）因为
bn
bn?1 ＝
1
2 ，所以bn＝(
1
2 )n?1，
因此cn＝n(
1
2 )n?1．
所以Tn＝1(
1
2 )0+2(
1
2 )1+…+n(
1
2 )n?1，

1
2 Tn＝1(
1
2 )1+2(
1
2 )2+…+n(
1
2 )n，

1
2 Tn＝1+
1
2 +…+(
1
2 )n?1?n(
1
2 )n，Tn＝4[1?(
1
2 )n]?n(
1
2 )n?1
=4?4(
1
2 )n?n(
1
2 )n?1
=4?(2n+4)(
1
2 )n．
从而可得：Tn＜4．
因为Tn+1?Tn＝4?(2n+6)(
1
2 )n+1?4+(2n+4)(
1
2 )n=(
1
2 )n(n+1)＞0．
所以Tn≥T1=1．
故存在整数M=4，m=0满足题目要求．

因为2sn=an^2+n-4，所以2s（n-1）=a（n-1）²+n-1-4. 两式相减2an=an^2-a（n-1）²+1，a（n-1）²=an^2-2an+1=（an-1）² 因为各项都是正数，所以a （n-1）=a n - 1。令n=1, 2a1=a1²+1-4，a1=3. 所以{an}是以a1=3为首项，d=1为公差的等差数列。 an=n+2. ========== 如果答案对你有所帮助，记得好评哦~~

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