如图,三角形ABC的三个顶点在圆O上,且角ACB的外角平分线交圆O于E,EF⊥BD于F.探索EO与A

如图,三角形ABC的三个顶点在圆O上,且角ACB的外角平分线交圆O于E,EF⊥BD于F.探索EO与A

EO⊥平分AB 连接AE、BE 因为CE是∠ACD的平分线,所以：∠ACE=∠ECD 而,∠ECD=∠BAE（圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角） 所以,∠BAE=∠ACE 而,∠ACE=ABE（同弧所对的圆周角相等） 所以,∠BAE=∠ABE 即,△EAB为等腰三角形 所以,EO⊥平分AB 证明,取AB中点H.连接OH 因为△OAB为等腰三角形,H为AB中点,所以OH⊥AB 同理,EH⊥AB 所以,O在EH上 则,OE⊥平分AB 2.在BD上,取FG=FC,连接EG 因为EF⊥BD,所以,∠CFE=GFE=90° 又因为,CF=GH EF公共 所以：Rt△EFC≌Rt△EFG 所以,FG=CE,且∠EGF=∠ECF 而,∠ECF=ECA（已知） ∠CAE=∠CBE（同弧所对圆周角相等） AE=BE（1所证） 所以,△ACE≌△BGF 所以,AC=BG=BF+FG=BF+CF 所以,(BF+CF)/AC=1 且该值不会应为△ABC的改变而改变.======以下答案可供参考======供参考答案1:EO⊥平分AB 连接AE、BE 因为CE是∠ACD的平分线，所以：∠ACE=∠ECD 而，∠ECD=∠BAE（圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角） 所以，∠BAE=∠ACE 而，∠ACE=ABE（同弧所对的圆周角相等） 所以，∠BAE=∠ABE 即，△EAB为等腰三角形 所以，EO⊥平分AB 证明，取AB中点H。连接OH 因为△OAB为等腰三角形，H为AB中点，所以OH⊥AB 同理，EH⊥AB 所以,O在EH上 则，OE⊥平分AB 2。 在BD上，取FG=FC，连接EG 因为EF⊥BD，所以，∠CFE=GFE=90° 又因为，CF=GH EF公共 所以：Rt△EFC≌Rt△EFG 所以，FG=CE，且∠EGF=∠ECF 而，∠ECF=ECA（已知） ∠CAE=∠CBE（同弧所对圆周角相等） AE=BE（1所证） 所以，△ACE≌△BGF 所以，AC=BG=BF+FG=BF+CF 所以，(BF+CF)/AC=1 且该值不会应为△ABC的改变供参考答案2:EO⊥平分AB 连接AE、BE 因为CE是∠ACD的平分线，所以：∠ACE=∠ECD 而，∠ECD=∠BAE（圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角） 所以，∠BAE=∠ACE 而，∠ACE=ABE（同弧所对的圆周角相等） 所以，∠BAE=∠ABE 即，△EAB为等腰三角形 所以，EO⊥平分AB 证明，取AB中点H。连接OH 因为△OAB为等腰三角形，H为AB中点，所以OH⊥AB 同理，EH⊥AB 所以,O在EH上 则，OE⊥平分AB 2。

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