a是自然数，a⁴-3a²+9是质数还是合数。给证明......

a是自然数，a⁴-3a²+9是质数还是合数。给证明......

x⁴- 3x² + 9
= x⁴ + 6x + 9 - 9x²
= (x² + 3)^2 - (3x)²
= (x² - 3x + 3)(x² + 3x + 3)
(1) 当x =1时，x⁴ - 3x² + 9 = 1×7 = 7 为一质数；
(2) 当x = 2时，x⁴- 3x² + 9 = 1×13 = 13为一质数；
(3) 当x ≥3时，x² - 3x + 3， x² + 3x + 3 均为大于1的自然数，
则 x⁴ - 3x² + 9 可分解为两个大于1的自然数之积，故为合数
所以 当x = l 或 2 时，x⁴ - 3x² + 9 是质数；
当x ≥3时， x^⁴- 3x² + 9 是合数。

就是说，当 x 从 1 开始连续增加时，(x⁴ - 3x² + 9) 只有前两个数字是质数，其余都是合数。

a=1，a⁴-3a²+9=0+7=7，质数
a=2，a⁴-3a²+9=3*1*2+7=13，质数
a=3，a⁴-3a²+9=4*2*7+7=9*7，合数
所以有质数也有合数

a^4-3a^2+9
=a^4+6a^2+9-9a^2
=(a^2+3)^2-9a^2
=(a^2+3-3a)(a^2+3+3a)

a^2+3-3a
=(a-1.5)^2+0.75>0
a^2+3+3a
=(a+1.5)^2+0.75>0
所以(a^2+3-3a)和(a^2+3+3a)为两个正整数
1）a=1时
a^2+3-3a=1
a^2+3+3a=7
a^4-3a^2+9=1×7=7，为质数
2）a=2时
a^2+3-3a=1
a^2+3+3a=13
a^4-3a^2+9=1×13=13，为质数
即a=1或a=2时，a^4-3a^2+9为质数
3）a≥3时
a^2+3-3a
=(a-1.5)^2+0.75
≥1.5^2+0.57
=3
a^2+3+3a
=（a+1.5)^2+0.75
≥4.5^2+0.75
=21
即a≥3时，

a^4-3a^2+9等于两个不小于3的自然数的乘积，为合数

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