一道关于极限的证明题设f(x)在[a,+∞]上增加且有上界,证明数列极限limf(n)存在x->+∞

一道关于极限的证明题
设f(x)在[a,+∞]上增加且有上界,证明数列极限limf(n)存在
x->+∞

因为f(x)在[a,+∞]上增加且有上界,
所以f(x)在[a,+∞]上有上确界,记为b.
下面我们将证明数列极限limf(n)=b
用定义证：
因为b是f(x)在[a,+∞]上确界,
所以任意x>=a,f(x)0,存在M>0,使得f(M)>b-e
因为f(x)为增函数,
所以当x>=M时,f(x)>b-e
因此对于任意的e>0,存在整数[M]+1,使得当n>[M]+1,b-e

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