求用局部不等式法证明不等式
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解决时间 2021-03-31 21:46
- 提问者网友：呐年旧曙光
- 2021-03-30 23:48
求用局部不等式法证明不等式
最佳答案
- 五星知识达人网友：孤老序
- 2021-03-31 00:00
x、y、z∈R+，x+y+z=1，
则x、y、z∈(0,1)，
且x-4/3<0，(3x-1)²≥0.
∴(3x-1)²(x-4/3)≤0
→x³-2x²+x-4/27≤0
→(x-2)(1+x²)+50/27≤0
即1/(1+x²)≤(27/50)(2-x).
同理可得
1/(1+y²)≤(27/50)(2-y)，
1/(1+z²)≤(27/50)(2-z).
三式相加，得
1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)
≤(27/50)[6-(x+y+z)]
=(27/50)(6-1)
=27/10.
故原不等式得证。
则x、y、z∈(0,1)，
且x-4/3<0，(3x-1)²≥0.
∴(3x-1)²(x-4/3)≤0
→x³-2x²+x-4/27≤0
→(x-2)(1+x²)+50/27≤0
即1/(1+x²)≤(27/50)(2-x).
同理可得
1/(1+y²)≤(27/50)(2-y)，
1/(1+z²)≤(27/50)(2-z).
三式相加，得
1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)
≤(27/50)[6-(x+y+z)]
=(27/50)(6-1)
=27/10.
故原不等式得证。
全部回答
- 1楼网友：蓝房子
- 2021-03-31 00:20
你看要证明的式子是一个轮换对称式，并且x＝y＝z时等号成立，那么设函数，取其在xyz的算数平均值处的切线即可。
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