求arcsinx-arcsiny=a的图像

求arcsinx-arcsiny=a的图像

求arcsinx-arcsiny=α的图像
解：arcsiny=arcsinx-α
故y=sin(arcsinx-α)=sin(arcsinx)cosα-cos(arcsinx)sinα
=xcosα-[√(1-x²)]sinα
xcosα-y=[√(1-x²)]sinα
平方去根号得x²cos²α-2xycosα+y²=(1-x²)sin²α
即有x²(1-sin²α)-2xycosα+y²=(1-x²)sin²α
化简得x²-2xycosα+y²-sin²α=0.............(1)
为了消去交叉项，将坐标轴旋转一个角度θ，这时：
x=x'cosθ-y'sinθ；y=x'sinθ+y'cosθ；代入(1)式得：
(x'cosθ-y'sinθ)²-2(x'cosθ-y'sinθ)(x'sinθ+y'cosθ)cosα+(x'sinθ+y'cosθ)²-sin²α=0；
展开，合并同类项，化简得：
(1-sin2θ)x'²+(1+sin2θ)y'²+(2sin2θ-cos2θ)x'y'-sin²α=0
令2sin2θ-cos2θ=0，即tan2θ=1/2，θ=(1/2)arctan(1/2)，则sin2θ=1/√5；
于是得方程：
(1-sin2θ)x'²+(1+sin2θ)y'²-sin²α=0
[(1-1/√5)/sin²α]x'²+[(1+1/√5)/sin²α]y'²=1
这是一个焦点在x' 轴上，长半轴a=√{[(√5)sin²α]/(√5-1)}，
短半轴b=√{[(√5)sin²α]/(√5+1)}的椭圆。

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