试求一个正交的相似变换矩阵P,将已知的3阶对称阵A化为对角阵已知3阶对称阵A=2,2,-22,5,-

试求一个正交的相似变换矩阵P,将已知的3阶对称阵A化为对角阵已知3阶对称阵A=2,2,-22,5,-

把λ=1代入方程组(A-λE)X=0中,得到该方程组的系数矩阵为1 2 -2 1 2 -22 4 -4 → 0 0 0-2 -4 4 0 0 0所以,这时,方程组与方程x1+2x2-2x3=0(x2,x3为自由未知量）同解,因此,令x2=1,x3=0,得到方程组的一个解,(-2,1,0)^T.再令x2=0,x3=1,得到方程组的另一个与之线性无关的解,(2,0,1)^T.所以,这时方程组的一个基础解系为(-2,1,0)^T,(2,0,1)^T.当λ=10时,该方程组的系数矩阵为-8 2 -2 2 -5 -4 2 -5 -4 2 -5 -4 2 -5 -4 → -8 2 -2 → 0 -18 -18 → 0 1 1-2 -4 -5 -2 -4 -5 0 -9 -9 0 0 0所以,这时方程组与2x1-5x2-4x3=0,x2+x3=0(x3为自由未知量）同解,令x3=﹣2,得到方程组的一个基础解系为(1,2,-2)^T.令a1=(-2,1,0)^T,a2=(2,0,1)^T,a3=(1,2,-2)^T,则根据施密特正交化方法,c1=a1/||a1||=1/√5×(-2,1,0)^T,b2=a2-(a2,c1)c1=(2/5,4/5,1)^T,c2=b2/||b2||=(√5)/3×(2/5,4/5,1)^T,b3=a3-(a3,c1)c1-(a3,c2)c2=a3,c3=b3/||b3||=1/3×(1,2,-2)^T.所以,矩阵P=﹣2/√5 2√5/15 1/3 它所对应的对角阵为1 0 01/√5 4√5/15 2/3 0 1 00 √5/3 -2/3 0 0 10

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