求极限问题

根号下x平方加x加5减根号下x平方减2x加5。x趋向无穷条件下

需要区分x→＋∞和x→－∞

根号下(x^2+x+5)－根号下(x^2-2x+5)

＝[(x^2+x+5)－(x^2-2x+5)] / [根号下(x^2+x+5)＋根号下(x^2-2x+5)]

＝3x / [根号下(x^2+x+5)＋根号下(x^2-2x+5)]

接下来考虑分子分母同除以x，则

x→＋∞时，分式化简为：3 / [根号下(1+1/x+5/x^2)＋根号下(1-2/x+5/x^2)]，分母的极限是2，所以整个极限是3/2；

x→－∞时，分式化简为：3 / [-根号下(1+1/x+5/x^2)-根号下(1-2/x+5/x^2)]，分母的极限是-2，所以整个极限是-3/2.

两个极限不相等，所以，x→∞时，原极限不存在

利用分子有理化 ：

limx→∞[（根号下x^2+x+5)-(根号下x^2-2x+5）]=

limx→∞[（[x^2+x+5-(x^2-2x+5)]/[（根号下x^2+x+5)+(根号下x^2-2x+5）]

=limx→∞[（[3x/[（根号下x^2+x+5)+(根号下x^2-2x+5）] 这时候 分子分母同时除以x

3/[（根号下1+1/x+5/x^2)+(根号下1-2/x+5/x^2）] 因x→∞ 所以后面的1/x，5/x^2→0

那么原始式子lim=3/2

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