在三角形abc中,ab=ac,延长ca到p

在△ABC中，AB=AC，延长CA到P，再延长AB到Q，使得AP=BQ，，求证△ABC的外心O与A,P,Q,四点共圆。

解析，
连接PO，CO，AO，QO，
AB=AC，BQ=AP,
故，PC=AQ，
O是外心，故，AO=CO，
即是，∠OAC=∠OCA，
又△ABC是等腰三角形，且AB=AC，那么外心O点一定在∠BAC的平分线上。
即是，∠OAQ=∠OAC，
因此，∠OAQ=∠ACO，
故，△AOQ≌△POC,
因此，∠APO=∠AQO，
根据四点共圆的性质：
【把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆． 】
那么，O，A，P，Q四点共圆。

分析一、O是外心，作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ。易知OE=OF，BE=AF，从而Rt△OPF≌Rt△OQE，于是∠P=∠Q，从而O、A、P、Q四点共圆。 分析二、延长BA至G，使AG=AP，连接OP、OA、OG、OQ，并作OE⊥AB于E(图略)。利用△PAO≌△PGO和△QEO≌△GEO也可证得结论。

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