已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx （x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）-m=0有解，求m的取

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx （x∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）-m=0有解，求m的取值范围．

（1）由函数f（x）=log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．
可知f（x）=f（-x）
∴log4（4x+1）+kx=log4（4-x+1）-kx（（2分）
即log4
4x+1
4?x+1 ＝?2kx
∴log44x=-2kx（4分）
∴x=-2kx对x∈R恒成立．（6分）
∴k=?
1
2 ．（7分）
（2）由m＝f(x)＝log4(4x+1)?
1
2 x，
∴m＝log4
4x+1
2x ＝log4(2x+
1
2x )．（9分）∵2x+
1
2x ≥2（11分）
∴m≥
1
2 （13分）
故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围：m≥
1
2 ．（14分）

解：（1）由函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（x∈r）是偶函数． 可知f（x）=f（-x） ∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx（（2分） 即 log44x+14-x+1=-2kx ∴log₄4^x=-2kx（4分） ∴x=-2kx对x∈r恒成立．（6分） ∴k= -12．（7分） （2）由 m=f(x)=log4(4x+1)-12x， ∴ m=log44x+12x=log4(2x+12x)．（9分）∵ 2x+12x≥2（11分） ∴ m≥12（13分） 故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围： m≥12．（14分）

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