解答题（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证a6+b6＞a4b2+a2b4（2）设a

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解决时间 2021-04-13 06:38

提问者网友：像風在裏
2021-04-12 23:10

解答题（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证a6+b6＞a4b2+a2b4
（2）设a，b，c为△ABC的三条边，求证（a+b+c）2＜4（ab+bc+ca）

最佳答案

五星知识达人网友：躲不过心动
2021-04-13 00:09

证明：（1）a6+b6-（a4b2+a2b4）=a4（a2-b2）-b4（a2-b2）=（a2-b2）2（a2+b2）
∵a，b都是正数，且a≠b，
∴（a2-b2）2（a2+b2）＞0，
∴a6+b6＞a4b2+a2b4
（2）要证原不等式成立，只需证4（ab+bc+ca）-（a+b+c）2＞0
即a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）＜0，
即a2+b2+c2-a（b+c）-b（c+a）-c（a+b）＜0，
也即a[a-（b+c）]+b[b-（c+a）]+c[c-（a+b）]＜0成立．
因为a，b，c为△ABC的三条边，所以a-（b+c）＜0，b-（c+a）＜0，c-（a+b）＜0
即从而a[a-（b+c）]+b[b-（c+a）]+c[c-（a+b）]＜0成立，所以原不等式也成立解析分析：（1）首先由题目求证a6+b6＞a4b2+a2b4，可以根据做差法求a6+b6-（a4b2+a2b4）然后根据已知条件a，b都是正数，且a≠b，求得a6+b6-（a4b2+a2b4）大于0即可．（2）首先要证明（a+b+c）2＜4（ab+bc+ca），可以做差然后化简得a2+b2+c2-a（b+c）-b（c+a）-c（a+b）．然后根据已知条件a，b，c为△ABC的三条边，两边之和大于第三边，可证明a2+b2+c2-a（b+c）-b（c+a）-c（a+b）＜0．即得到结果．点评：（1）题主要考查不等式的证明问题，涉及到做差法的应用；（2）小题主要考查基本不等式的证明问题，其中涉及到三角形的性质两边之和大于第三边，属于中档题目．

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1楼网友：西岸风
2021-04-13 00:28

这个答案应该是对的

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