已知函数f（x）=sinx（x≥0）,g（x）=ax（x≥0）,其中a为实数.1.若f（x）≤g(x

已知函数f（x）=sinx（x≥0）,g（x）=ax（x≥0）,其中a为实数.1.若f（x）≤g(x

（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0）,所以h'（x）=cosx-a．若a≥1,h'（x）=cosx-a≤0,所以h（x）=sinx-ax在区间（-∞,0]上单调递减,即h（x）≤h（0）=0,所以sinx≤ax（x≥0）成立． 若a＜1,存在x0∈(0,π/2),使得cosx0=a,所以x∈（0,x0）,h'（x）=cosx-a＞0,所以h（x）=sinx-ax在区间（0,x0）上单调递增,所以存在x使得h（x）＞h（0）=0,即此时f（x）≤g（x）不恒成立,所以a＜1不符合题意舍去．综上,a≥1． （Ⅱ）由题意可得：a=1,所以g（x）=x（x≥0）,所以（x）-g（x）=sinx-x（x≥0）,所以原不等式等价于sinx-x-1/6x^3≤0（x≥0）,设H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0),所以H′(x)=1-cosx-1/2x^2． 令G(x)=1-cosx-1/2x^2,所以G'（x）=sinx-x,所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0）,所以G(x)=1-cosx-1/2x^2在（0,+∞）上单调递减,因此有：G(x)=1-cosx-1/2x^2≤G(0)=0,即H′(x)=1-cosx-1/2x^2≤0,所以H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0)单调递减,所以H(x)=x-sinx-1/6x^3≤H(0)=0,所以x-sinx-1/6x^3≤0（x≥0）恒成立,即x-sinx≤1/6x^3（x≥0）．======以下答案可供参考======供参考答案1:（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），所以h'（x）=cosx-a．若a≥1，h'（x）=cosx-a≤0，所以h（x）=sinx-ax在区间（x>=0)上单调递减，即h（x）≤h（0）=0，所以sinx≤ax（x≥0）成立． （3分）若a＜1，存在x0∈(0，π/2)，使得cosx0=a，所以x∈（0，x0），h'（x）=cosx-a＞0，所以h（x）=sinx-ax在区间（0，x0）上单调递增，所以存在x使得h（x）＞h（0）=0，即此时f（x）≤g（x）不恒成立，所以a＜1不符合题意舍去．综上，a≥1． （5分）（Ⅱ）由题意可得：a=1，所以g（x）=x（x≥0），所以f（x）-g（x）=sinx-x（x≥0），所以原不等式等价于sinx-x-1/6x3≤0（x≥0），设H(x)=x-sinx-1/6x3 (x≥0)，所以H′(x)=1-cosx-1/2x2．令G(x)=1-cosx-1/2x2，所以G'（x）=sinx-x，所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0），所以G(x)=1-cosx-1/2x2在（0，+∞）上单调递减，（8分）因此有：G(x)=1-cosx-1/2x2≤G(0)=0，即H′(x)=1-cosx-1/2x2≤0，所以H(x)=x-sinx-1/6x3 (x≥0)单调递减，（10分）所以H(x)=x-sinx-1/6x3≤H(0)=0，所以x-sinx-1/6x3≤0（x≥0）恒成立，即x-sinx≤1/6x3（x≥0）．供参考答案2:(1)f(x)）≤g(x)sinx ≤axa>=1(2)a=1g(x)-f(x)=x-sinx= x- ( x/1! - x^3/3! + x^5/5! - )=x^3/3!-x^5/5! + x^7/7!-...≤ x^3/3!=x^3/6

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