如图，直线y=-根号3/3x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限作等腰直角△ABC，∠BAC=9

如图，直线y=-根号3/3x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限作等腰直角△ABC，∠BAC=9

由y=（-√3/3）x+1，
令y=0，x=√3，∴A（√3，0）
令x=0，y=1，∴B（0，1）∴AB=√[（√3）²+1²]=2，
过A作AC⊥AB，且AC=AB=2，
S△ABC=2²×1/2=2.
设P（a，1/2），过P作PQ⊥x轴于Q，Q（a，0）
△PQA的面积：S1=（√3-a）×1/2×1/2=（√3-a）/4，
四边形ABPQ面积S=△ABO+梯形OBPQ，
=1×√3÷2+(1+1/2)(-a)÷2
=√3/2-3a/4,
也可以表示为S=△APQ+△ABP（∵△ABP=△ABC=2）
=（√3-a）/4+2，
∴√3/2-3a/4=（√3-a）/4+2，
a=（√3-8）/2.

a=-(4-√3/2)

参考资料：百度

解：直线y=-(√3/3)x+1与X、Y轴的交点分别为A(√3,0)和B(0,1).
|AB|=√[(√3-0)^2+(0-1)^2=2.
△ABC的面积S1=(1/2)*AB*AC=AB^2/2 =2 . (AB=AC)
△ABP的面积S2=(1/2)*AB*h (h---AB边上的高）。
过P(a,1/2)点做直线垂直于直线AB[即y=-(√3/3)x+1],交于D，则PD=h.
由点P( a,1/2)至y的距离公式得：
PD=|(√3/3)a+1*(1/2)-1|/√[(√3/3)^2+1]=|a-√3/2|/2.
S2=(1/2)AB*h=(1/2)*2*|(a-√3/2)/2|=S1=2.
|a|=|4-√3/2| ∵a在第二象限
∴ a=-(4-√3/2) (长度单位）----即为所求。

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