已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点且OP垂直于OQ，求圆心及坐标

已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点且OP垂直于OQ，求圆心及坐标

该圆圆心坐标和半径 答案:(-1/2,3),r=5/2

将圆方程化简为标准式有：
[x+(1/2)]^2+(y-3)^2=(37-4m)/4……………………………（1）
所以，圆心坐标为(-1/2,3)
联立直线与圆方程得到：
x^2+x+y^2-6y+m=0
x+2y-3=0
===> (2y-3)^2-(2y-3)+y^2-6y+m=0
===> 4y^2-12y+9-2y+3+y^2-6y+m=0
===> 5y^2-20y+(m+12)=0
===> y1+y2=4，y1y2=(m+12)/5
===> x1x2=(-2y1+3)(-2y2+3)=4y1y2-6(y1+y2)+9=4(m+12)/5-15
已知OP⊥OQ
则，Kop*Koq=-1
即：(y1/x1)*(y2/x2)=-1
===> y1y2+x1x2=0
===> (m+12)/5+4(m+12)/5-15=0
===> m+12-15=0
===> m=3
代入(2)式就有：
r^2=(37-4m)/4=25/4
所以，r=√(25/4)=5/2

解：圆的方程x² +y² +x-6y+m=0可化为：(x+1/2)² +(y-3)² =37/4 -m 则设圆的圆心为c(-1/2,3)，半径r=√(37/4 -m) 作线段pq中点m，连结mc，pc，易知mc⊥pq 由于pq所在直线为x+2y-3=0，故设直线mc方程为2x-y+d=0 将点c坐标代入直线mc方程，可得： 2*(-1/2)-3+d=0，解得d=4 所以直线mc方程为2x-y+4=0 联立方程2x-y+4=0，x+2y-3=0求直线pq与直线mc的交点即pq中点m 可解得x=-1,y=2 所以中点m坐标为(-1,2) 则|om|=√5，|cm|=√(1/4 +1)=√5/2 因为op⊥oq，所以 在rt△opq中，由点m是斜边pq上的中点可得： |pq|=2|om|=2√5 即|mp|=√5 则在rt△cmp中，|cm|=√5/2，斜边|cp|=r=√(37/4 -m) 由勾股定理|cp|²=|mp|²+|cm|²可得： 37/4 -m=5+5/4=25/4 解得m=3

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