换底公式怎么推导来的。

换底公式怎么推导来的。

log(a)b=log(s)b/log(s)a （括号里的是底数）
设log(s)b=M,log(s)a =N,log(a)b=R，则s^M=b,s^N=a,a^R=b，
即(s^N)^R=a^R=b，s^(NR)=b，
所以M=NR，即R=M/N，log(a)b=log(s)b/log(s)a。

拓展资料：

换底公式是高中数学常用对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。计算中常常会减少计算的难度，更迅速的解决高中范围的对数运算
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底的自然对数或者是转换为以10为底的常用对数，方便运算；有时也通过用换底公式来证明或求解相关问题；
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮，但却没有[log2]的。要计算  ，你只有计算  （或  ，两者结果一样）
参考资料：百度百科-换底公式

换底公式推导方法如下：

若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
如：log（10）（5）=log（5）（5）/log（5）（1换底公式过程0）
则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据对数的基本公式
log(a）(M^n)=nloga(M)和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得
log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/x log(n)(n)=y/x
由 a=n^x,b=n^y
可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
拓展内容：
换底公式的应用

1、数学对数
在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底。.
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时也通过用换底公式来证明或求解相关问题
2、工程技术
在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，
例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。

解换底公式为
loga（b）=logc（b）/logc（a）（c＞0，c≠1）
推导过程
令loga（b）=t................................(1)
即a^t=b
两边取以c（c＞0，c≠1）的对数
即logc（a^t）=logc（b）
即 t logc（a）=logc（b）
故由a≠1，即 logc（a）≠0
即t=logc（b）/ logc（a）..............(2)
由（1）与（2）知
loga（b）=logc（b）/logc（a）。

log(a)b=log(s)b/log(s)a （括号里的是底数）
设log(s)b=M,log(s)a =N,log(a)b=R，则s^M=b,s^N=a,a^R=b，
即(s^N)^R=a^R=b，s^(NR)=b，
所以M=NR，即R=M/N，log(a)b=log(s)b/log(s)a。

拓展资料：
在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式。
例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数，只有以常用对数（即以10为底的对数）或自然对数（即e为底的对数）。此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数，表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而处理某些实际问题。
公式
对于  且  ，有 。
证：若有对数  ，设  ，  。
则根据对数的基本公式  和  及  ,  
可得则有证毕。
参考资料：百度百科：换底公式

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