是否存在正实数a,b,使当x属于［a,b］时，函数f(x)=2x-x^2的值域是［2-b,2-a］若存在求a,b的值,若不存在,请解释说明

是否存在正实数a,b,使当x属于［a,b］时，函数f(x)=2x-x^2的值域是［2-b,2-a］若存在求a,b的值,若不存在,请解释说明 过程详细点

假设存在

因为f(x)=-x^2+2x，对称轴为1

a当b＞a＞1，所以在［a,b］范围内，函数单调递增

所以f(a)=-a^2+2a=2-b    a(2-a)=2-b.......1

f(b)=-b^2+2b=2-a    b(2-b)=2-a.......2

把1式带入2式，得

ab(2-a)=2-a

又因为2x-x^2=-（x-1)^2+1≥1，所以2-a＞2-b≥1

所以2-a≠0，所以ab=1

又因为2-b≥1，所以b≤1，所以a≥1，即a＞b

这与“x属于［a,b］”矛盾，所以b＞a＞1不存在a、b

当1＞b＞a，单调递减

所以f(a)=-a^2+2a=2-a    （a-1)(a-2)=0

f(b)=-b^2+2b=2-b    (b-1)(b-2)=0

根据［a,b］，所以应该是a=1，b=2，但是

前提是1＞b＞a，所以在1＞b＞a不存在a、b

综上所述，不存在a、b

什么三角关系？

解：当x>=1时，f'(x)=2(1-x)>=0所以f(x)在x>=0时单调递减。所以f(a)=2a-a~2（a的平方）=2-a，解得a=1或a=2。f(b)=2b-b~2（b的平方）=2-b，解得b=1或b=2。

设存在满足条件的实数a,b.根据图像可知 在（-∞，1]上f(x)单调增，在（1，+∞）上单调减，所以：①当b≤1时f(x)单调增，令f(a)=2-b,令f(b)=2- a,解得：a+b=1; a^2-a+1=0 所以无解。②当a≥1时f(x)单调减，故令f(a)=2-a,f(b)=2-b,解得：（a-1）*（a-2）=0;b的方程同理可得。∵a<b,∴a=1,b=2.③当a<1,b>1时，最大值为f(1)=2-a.解得a=1∵a<1,∴不成立综上，存在满足条件的实数a,b . a的值为1，b的值为2.

a=1 b=2

b>a

f= -(x-1)^2+1

若1<=a<b

那么f(a)=2-a  f(b)=2-b

2a-a^2=2-a  a^2-3a+2=0

2b-b^2=2-b  b^2-3b+2=0

a=1,b=2

若a<b<=1

那么f(a)=2-b,f(b)=2-a

2a-a^2=2-b 

2b-b^2=2-a

相减2a-2b+b^2-a^2=a-b

(b^2-a^2)+a-b=0

(b-a)(b+a-1)=0

b>a

b+a-1=0

b=1-a

2a-a^2=2-b  =2-(1-a)=1+a

a^2-a+1=0 △<0 无解

若a<=1<=b,

f(max)=f(1)=2-a

f(1)=1=2-a

a=1 与第一种讨论相同了，就不用计算出b的值了

综上所述a=1，b=2

（PS:这是一道很经典的题，建议要记住哦。嘿嘿）

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