设x1=根号a，x2=根号（a+x1），。。。，xn=根号（a+xn-1），。。。，其中a大于0，求xn的极限，n趋于无穷

设x1=根号a，x2=根号（a+x1），。。。，xn=根号（a+xn-1），。。。，其中a大于0，求xn的极限，n趋于无穷

首先，对任意正整数n，xn>0；
其次，x1再次，x1=√a<√a+1。若xk<√a+1，则x(k+1)=√(a+xk)<√(a+√a+1)<√(a+2√a+1)=√a+1，
这说明xn是有上界的；
所以，当n趋于无穷时，xn的极限存在，令lim(n→∞)xn=x，
则 对xn=√[a+x(n-1)] 两边取极限，得 x=√(a+x)，
x^2-x-a=0，
解得 x=[1+√(1+4a)]/2，
即 lim(n→∞)xn=[1+√(1+4a)]/2。

xn=√（a+xn）
xn^2=a+xn
xn^2-xn-a=0
xn=[1+√(1+4a)]/2

x1 = √a
x2 = √(a+√a)
x3 = √{a+√(a+√a)}
...
xn = √(a+√(a+√(a+...√a) ) )，【其中n趋近于+∞】
两边平方：xn^2 = a + √(a+√(a+...√a) ) = a + xn ，【其中n趋近于+∞】
xn^2 - xn = a
(xn-1/2)^2 = a+1/4
xn-1/2 = ±√(a+1/4)
xn = 1/2 ±√(a+1/4)
∵xn = 1/2 -√(a+1/4)＜0，舍去
∴lim(n趋近于+∞) xn = 1/2 + √(a+1/4) = {1+√(a+4)}/2

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