如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个正三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F，求证PM=QM

如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个正三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F，求证PM=QM

解：连接CM

在等边△BCP和等边△CDQ中

有BC=CD

∠PBC=∠QDC=60°

即∠EBC=∠FDC

又∠PCB=∠QCD=60°

且∠PCQ为公共角

∴∠QCB=∠PCD

即∠ECB=∠FCD

∴△ECB≌△DFC(ASA）

∴CE=CF

在正方形ABCD中

∵∠BCD=90°

又∠PCB=60°（等边三角线的性质）

∴∠PCD=30°

又∠PDC=60°（∠QDC=60°）

∴∠PDC+∠PCD=90°

∴∠DFC=90°

∴∠CEB=90°（△ECB≌△DFC) 最好写“全等三角形的性质”

∴∠CEM=∠CFM=90°

∴△CEM和△CFM为直角三角形

∵CE=CF

CM=CM

∴Rt△CME≌Rt△CMF(HL）

∴EM=MF

∵∠DQC=∠BPC=60°

即∠MQE=∠MPF

又∠QME=∠PMF（对等角相等）

∴△QME≌△PMF（AAS）

∴PM=QM

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