求一个最小的自然数,乘2是一个完全平方数,乘3是一个完全立方数,乘5是一个完全五次方数.要详细说出理

求一个最小的自然数,乘2是一个完全平方数,乘3是一个完全立方数,乘5是一个完全五次方数.要详细说出理

呵呵0除外.首先,这个数含有因数2,3,5乘2是个完全平方数,那么3和5的幂数一定是2的倍数,且2的幂数为奇数乘3是个完全立方数,那么2和5的幂数一定是3的倍数,且3的幂数为3的倍数减1乘5是个完全5次方数,那么2和3的幂数一定是5的倍数,且5的幂数为5的倍数减1综合一下,2的幂数是3和5的倍数,且为奇数,最小为153的幂数为2和5的倍数,且为3的倍数减1,最小为205的幂数为2和3的倍数,且为5的倍数减1,最小为24所以所求最小的自然数为：2^15*3^20*5^24======以下答案可供参考======供参考答案1:2*（2*完全平方数）＝完全平方数3*（3*3*完全立方数）＝完全立方数5*（5*5*5*5*完全5次方数）＝完全5次方数。所以这个数是2的15次方*3的20次方*5的24次方。供参考答案2:设这个数为X.则2X=a^2 3X=b^35X=c^5为了使X最小 所以我们可以先给X加一个质因数2(因为2*2=4 是一个平方数)接着 我们可以给X再加2个3 但是第1个条件就无法满足所以 我们用3个2(2*2*2*2*3*3是一个平方数 而2*2*2*3*3*3也一定是一个3次方数)最后 还需要24个5 此时还需要找到满足的2的个数(只有3*5=15)和3的个数(只有20)所以 此数为5^24*2^15*3^20=357046722662400000仅供参考供参考答案3:设X=2^a*3^b*5^c,则2X=2^(a+1)*3^b*5^c,3X=2^a*3^(b+1)*5^c,5X=2^a*3^b*5^(c+1),2X是完全平方数,当且仅当a+1,b,c是偶数,即a+1,b,c能被2整除3X是完全立方数,当且仅当a,b+1,c能被3整除,5X是完全五次方数,当且仅当a,b,c+1能被5整除,故a能被3,5整除,但被2除余1,满足条件最小的a=15,b能被2,5整除,但被3除余2,满足条件最小的b=20,c能被2,3整除,但被5除余4,满足条件最小的c=24,故X=2^15*3^20*5^24

我也是这个答案

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