数学圆锥曲线问题

椭圆C的两焦点为F（-2√2，0），F2（2√2，0）,
（1）当直线l过F1与椭圆C交于M,N两点，且三角形MF2N的周长为12，求椭圆方程；
（2）是否存在直线m过P（0，2）点与椭圆C教育AB两点且以AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由。

c=2√2

1)由椭圆定义:MF1+MF2=NF1+NF2=2a

△MF2N=MF2+MN+NF2=MF2+MF1+NF1+NF2=2a+2a=4a=12

∴a=3,b²=a²-c²=3²-(2√2)²=9-8=1

∴椭圆为 x²/9+y²=1①

2)直线斜率一定存在,设m:y=kx+2②

联立①②整理得 (1+9k²)x²+36kx+27=0

△=36²k²-4×27(1+9k²)=4×27(12k²-1-9k²)=108(3k²-1)>=0

∴k²>=1/3

设A(x1,y1),B(x2,y2)

由韦达定理 x1+x2=-36k/(1+9k²),x1x2=27/(1+9k²)

要使AB为直径的圆过O,则OA⊥OB

向量OA*向量OB=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=0

∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k²)x1x2+2k(x1+x2)+4

=(1+k²)×27/(1+9k²)+2k×(-36k)/(1+9k²)+4

=(31-9k²)/(1+9k²)=0

∴k²=31/9>1/3

∴存在,k=±√31/3

直线为y=(±√31/3)x+2

解:

1, 设椭圆方程为 x²/a²+y²/b²=1 按题意有 MN=MF1+F1N＝2a MF2=a, MF1=a

三角形MF2N周长为12 : 2a+a+a=12 a=3

焦点F（-2√2，0），F2（2√2，0）, c=2√2 b²=a²-c²=9-8=1, b=1

所以 椭圆方程为 x²/3²+y²/1=1

2. 由焦点坐标或椭圆方程知道,椭圆圆心在原点

平面内2点定一直线,过P(0,2)和原点的直线,必然和椭圆有2点相交,而且交点AB连线中点是原点

直线m的斜率为 k=(0-0)/(2-0)=0 过原点,截距b=0 带入点斜是得m方程为 y=0 (就是x轴)

（1）因为三角形周长为12 所以4a=12 所以a=3 因为c^2=8 所以b^2=a^2-c^2=1 所以b=1 所以方程为x^2/9+y^2=1

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