在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC= 2 2 ，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=



2
2 ，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）直线l：y=x+t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．

（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=



2
2 +


2 2 +(



2
2 ) 2 =2


2 ，
∴动点轨迹为椭圆，且a=


2 ，c=1，从而b=1．
∴方程为
x 2
2 +y 2 =1
（2）将y=x+t代入方程
x 2
2 +y 2 =1，得3x 2 +4tx+2t 2 -2=0．
设M（x 1 ，y 1 ）、N（x 2 ，y 2 ），
∴△=16t 2 -4?3?（2t 2 -2）＞0①，
x 1 +x 2 =-
4t
3 ②，
x 1 x 2 =
2 t 2 -2
3 ③，
由①得t 2 ＜3，
∴S MANB =
1
2 |AB||y 1 -y 2 |=|y 1 -y 2 |=|x 1 -x 2 |=
2
3


6-2 t 2 ．

1.x^2/2+y^2=1 2. mn:x=ty+1与x^2/2+y^2=1联立消去x得： （ty+1)^2+2y^2-2=0 (t^2+2)y^2+2ty-1=0 设 m(x1,y1),n(x2,y2), q(2,y2) y1+y2=-2t/(t^2+2),y1y2=-1/(t^2+2) bk中点q（3/2,0) kmq=y1/(x1-3/2)=y1/(ty1-1/2) =y1y2/(ty1y2- y2/2) ∵ty1y2- y2/2=-t/(t^2+2)- y2/2 =[-2t/(t^2+2)]/2- y2/2 =(y1+y2)/2-y2/2=y1/2 ∴ kmq= y1y2/(ty1y2- y2/2) =y1y2/(y1/2)=2y2 ∵ knq=y2/(2-3/2)=2y2 ∴kmq=knq ∴m,q,n三点共线 即直线mq经过bk的中点

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