数学已知双曲线x2/a2-y2/b2=1,(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P在

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解决时间 2021-12-15 23:46

提问者网友：花花娘子
2021-12-15 15:14

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1,(a>0，b>0) 的左右焦点分别为F1，F2，P在双曲线的右支，且|PF1|＝4|PF2|,求此双曲线的离心率的最大值

最佳答案

五星知识达人网友：桃子不奈甜
2021-12-15 16:04

答：
双曲线(x^2)/a^2 -(y^2)/b^2=1
因为：|PF1|=4|PF2|
因为：|PF1|-|PF2|=2a
解得：|PF1|=8a/3，|PF2|=2a/3
根据余弦定理有：
(2c)^2=(8a/3)^2+(2a/3)^2-2*(8a/3)*(2a/3)*cos∠F1PF2
4c^2=(64/9+4/9)a^2-(32/9)(a^2)*cos∠F1PF2
c^2=[ 17/9-(8/9)*cos∠F1PF2 ]*a^2
e^2=(c/a)^2

=17/9-(8/9)*cos∠F1PF2
<=17/9+8/9
=25/9
所以：e<=5/3
所以：最大值为5/3

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1楼网友：是甜月亮
2021-12-15 17:06

如图所示，p点在双曲线右支上活动，

p点距左准线的距离等于|pf1|/e，p点距右准线的距离等于|pf2|/e，

两者之比等于|pf1|/|pf2|

∴当p点位于双曲线右支与x轴交点时，|pf1|/|pf2|取得最大值：|pf1|/|pf2|=(c+a)/(c-a)=(e+1)/(e-1)，（分子分母同除以一个a）

也就是说，当(e+1)/(e-1)＜4时，也有|pf1|/|pf2|＜4

于是，由题中|pf1|=4|pf2|，有(e+1)/(e-1)≥4

对于双曲线有e＞1，所以e+1≥4e-4，e≤5/3

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