已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述

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解决时间 2021-05-21 23:52

提问者网友：龅牙恐龙妹
2021-05-21 10:57

已知F₁、F₂是两个定点，点P是以F₁和F₂为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF₁⊥PF₂，e₁和e₂分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（　　）
A. e₁²+e₂²=2
B. e₁²+e₂²=4
C.

最佳答案

五星知识达人网友：山君与见山
2021-05-21 12:24

由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2m ①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2a ②
又∠F₁PF₂=90⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c² ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
将④代入③得a²+m²=2c²，即
1

c2
a2+
1

c2
m2＝2，即
1

e12+
1

e22＝2
故选C

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