微分和导数的关系
- 提问者网友：泪痣哥哥
- 2021-06-06 06:53
- 五星知识达人网友：枭雄戏美人
- 2021-06-06 07:28
我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前、哪个概念产生在后呢？
一、微分概念的导出背景
当一个函数的自变量有微小的改娈时，它的因变量一般说来也会有一个相应的改变。微分的原始思想在于去寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确地估计出这个改变量。
我们来看一个简单的例子：
维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度。在中学里，利用计算向凡加速度的办法已经求出这种速度约为7.9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它。
设卫星当前时刻在地球表面附近的A点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒种后本应到达B点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的并非是B点，而是C点，BC=4.9米是自由落体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离。
容易看出，若C点与地心O的距离与A事点到O的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球的飞行了。因此，卫星应具有最小每秒飞行速度恰好在线段AB的长度。△OAB是直角三角形，OA和OC可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理
显然就这样按上式去计算 是不可取的——这将导致两个量级的数在直接相减，工作量大不说，在字长较短的计算机上，还可能产生较大的误差。
利用乘法公式
可将上式改为
由于 ，因此 这一项与 这一项想比可以忽略不计，于是可以把计算简化为
由此计算出 千米。
这就是说，卫星的速度至少要达到每秒7.9千米才能维持其围绕地球的飞行，此即所要求的第一宇宙速度。
上面所计算的 ，实际上就是函数 在 处，自变量出现了一个微小的改变量之后，函数值的相应改变量4.9。然而在计算过程中，我们并没有完全精确地去算
而是抛弃了最后一项对整个计算结果而言可以忽略的量，得到了具有足够精确的计算值。这样的思想方法和处理过程，恰恰就是微分概念的应用。
二、产生导数的实际背景
从数学的发展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章地产生的，也就是说，人们先是有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，象 这么一种特定形式的极限，即导数，是一个有力的工具。
说导数是处理微分问题的有力工具，是因为一方面从微分形式 来看，在一点处的微分事实上都必须通过这一点的导数来表达和计算；另一方面，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等），无论是形式地思考还是实际地处理问题，由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色。