高中数学高手进~

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c.

若对x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，F(x)=[f(x1)+f(x2)]/2有两个不等实数根，证明必有一实数根属于(x1,x2)区间。

提示……构造函数g(x)使得g(x1)*g(x2)＜0.

解答：
为了简便，记m＝1/2[f(x1)+f(x2)]，
取一个新函数g(x)=f(x)-m,
则方程f(x)＝m<＝>g(x)＝0.
因此，只需证明g(x)＝0有一实数根在x1,x2间.
这等价于证明g(x1)g(x2)<0.而
g(x1)g(x2)
＝[f(x1)-m][f(x2)-m]
＝f(x1)f(x2)-m[f(x1)+f(x2)]+m^2
＝f(x1)f(x2)-(1/2)[f(x1)+f(x2)]^2+(1/4))[f(x1)+f(x2)]^2[把m代回来了]
＝f(x1)f(x2)-(1/4))[f(x1)+f(x2)]^2
＝(1/4){4f(x1)f(x2)-[f(x1)]^2-2f(x1)f(x2)-[f(x2)]^2}
＝(1/4){-[f(x1)]^2+2f(x1)f(x2)-[f(x2)]^2}
＝-(1/4){[f(x1)]^2-2f(x1)f(x2)+[f(x2)]^2}
＝-(1/4)[f(x1)-f(x2)]^2
∵f(x1)≠f(x2)
∴-(1/4)[f(x1)-f(x2)]^2<0
∴g(x1)g(x2)<0.
∴f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有一实数根在x1,x2间.

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