解答题设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且q＞0，q≠1．（1）若a1=qm，

解答题 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且q＞0，q≠1．
（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥-1，求证：数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{an}中的项；
（2）若数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{an}中的项，求证：存在整数m，且m≥-1，使得a1=qm．

证明：（1）设ar，at为等比数列{an}中不同的两项，
由a1=qm，得ar?at=a1qr-1?a1qt-1=a1?q（r+t+m-1）-1．
又r+t≥3，且m≥-1，所以r+m+t-1≥1．
所以ar，at是数列{an}的第r+m+t-1项；
（2）等比数列{an}中任意不同两项之积仍为数列{an}中的项，
令as?at=al（l，t，s∈N*，t≠s），
由as=a1?qs-1，at=a1?qt-1，al=a1?ql-1，得a1?qs-1??a1?qt-1=a1?ql-1，a1=ql-s-t+1．
令整数m=l-s-t+1，则a1=qm．
下证整数m≥-1．
若设整数m＜-1，则-m≥2．令k=-m，
由题设，取a1，ak，使a1?ak=ar（r∈N*），
即a1?a1?qk-1=a1?qr-1，所以qm?q-m-1=qr-1，
即q-1=qr-1．所以q＞0，q≠1，-1=r-1，r=0与r∈N*矛盾；
所以m≥-1．解析分析：（1）设出等比数列中的不同的两项，然后求出两项的积，利用等比数列的通项公式化简后，根据等比数列的通项公式即可得到积为等比数列中的项，得证；（2）根据等比数列{an}中任意不同两项之积仍为数列{an}中的项，设出两项之积的项，利用等比数列的通项公式化简可得存在整数m使a1=qm，然后利用反证法证明m大于等于-1，方法是，先假设m小于-1，得到-m大于等于2，令k等于-m，根据题意推出r的值为0，与r为正整数矛盾，所以假设错误，原命题正确，得证．点评：此题考查学生灵活运用等比数量的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，会利用反证法进行证明，是一道综合题．

感谢回答，我学习了

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