高二关于正余弦定理的问题

在△ABC中，b²Sin²C+C²Sin²B=2bc·CosB·CosC。判断△ABC的形状。

请写出过程（用正余弦定理）

根据正弦定理有b²Sin²C+C²Sin²B=2bc·CosB·CosC可化为（2r）²Sin²BSin²C+（2r）²Sin²BSin²C=8r²sinBcosBsinCcosC,所以sinBsinC=cosBcosC所以tanBtanC=1

所以B+C=90度

所以该三角形是直角三角形

由正弦定理得a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC其中r为三角形外接圆半径

利用sin^2(B)=1-cos^2(B),sin^2(C)=1-cos^2(C)，等价于 b^2+c^2=(b cosC+c cosB)^2,又因为射影定理b cosC+c cosB=a，所以 b^2+c^2=a^2 所以是直角三角形

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