如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞).

如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞).，则函数就是有界的。谁能给我解释一下这句话。

令z=x+iy
sinz=(e^iz-e^(-iz))/(2i)
=[e^(ix-y)-e^(-ix+y)]/(2i)
=[e^(-y)(cosx+isinx)-e^y(cosx-isinx)]/(2i)
=[(e^(-y)-e^y)cosx+isinx(e^(-y)+e^y)]/(2i)
=[(e^y-e^(-y))icosx+sinx(e^(-y)+e^y)]/2
|sinz|^2=sin^2x[e^2y+2+e^(-2y)]+cos^2x[e^2y-2+e^(-2y)]
=e^2y+e^(-2y)-2cos2x
当y趋于无穷大时，|sinz|^2也趋于无穷大，因此sinz无界。
如果把定义域限制在实数区间[2,∞), 即y=0, 此时sinz=sinx, 它的值域即为[-1,1]了，就是有界的了。

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