高一数学 。

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LZ您好
这是一道立几的基础题.
第一题是白送的垂直,然后外加等腰三角形
第二题是找矩形AA1C1C,通过对角线性质可发现一个现成的中位线
第三题应逆转思路,把B1-ADC1看作A-DC1B1,AD即是这个三棱锥的高
如果上述解答还没有想法,再看后文答案!
O
O
O
(1)∵AB=AC,D是BC中点
∴AD是等腰△ABC底边上的中线,也是高线
∴AD⊥BC
又ABC-A1B1C1是直三棱柱
∴BB1⊥平面ABC
∵AD C 平面ABC
∴BB1⊥AD
∵BB1∩BC=B,BB1,BC C 平面BCC1B1

∴AD⊥平面BCC1B1

解法一:

(2)连接AC1,交A1C于P点,连接DP
∵AA1∥CC1,AA1=CC1;
AA1⊥平面ABC,AA1⊥AC
∴AA1C1C是矩形
矩形的对角线AC1,A1C互相平分
也就是说A1P=PC
又BD=DC
∴DP是△A1BC的中位线
∴DP∥A1B
由于DP C 平面ADC1, 而 A1B ￠ 平面ADC1
∴A1B∥平面ADC1
(3)将三棱锥B1-ADC看作三棱锥A-B1C1D
那么底面就是△B1C1D
高就是AD
B1C1=√2
△B1C1D的高是BB1=AA1=1
根据勾股定理
AD²=AB²-BD²
AD=√(1-1/2)=√2/2
所以V(A-B1C1D)=(1/3)*AD*(1/2)*B1C1*AA1
=(1/3)*√2/2 *(1/2) * √2 *1
=1/6

解法二:

(2)以D为坐标原点,DA,DB所在直线为xy轴,过D垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系D-xyz
A1(√2/2,0,1),B(0,√2/2,0),A(√2/2,0,0),C1(0,-√2/2,1)

设n=(x,y,z)为平面AB1C1的法向量

n.DA=0,√2/2 x+0+0=0

n.DC1=0,0-√2/2 y+ z=0
解得x=0;不妨令z=1,则y=√2
所以n=(0,√2,1)
A1B=(-√2/2,√2/2,-1)

A1B . n=0+1-1=0
A1B￠平面ADC1
所以A1B∥平面ADC1
本题也可同样取P点,之后由A1B=2PD证明平行,然而向量做的时候法向量对(3)是必要的,所以这里还是用法向量证明平行吧~

(3)由(1)知∠ADC1=90度,AD=√2/2,DC1=√6/2
AA1=(0,0,1)
AA1在n上的投影的长度,即是A1-ADC1高线的长度
cos=AA1.n/lAA1llnl=1/(1*√3)=√3/3
h=lAA1lcos=√3/3
所以V(A1-ADC1)=(1/3)*h *(1/2)*AD*DC1
=(1/3) * √3/3 *(1/2)* √2/2*√6/2
=1/6

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