若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a＋b,b＋c,c＋a}能否作为该空间的一个基底

若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a＋b,b＋c,c＋a}能否作为该空间的一个基底
解释中为什么∴a,b,c不共面∴1＝μ,1＝λ,0＝λ＋μ,
假设a＋b,b＋c,c＋a共面,则存在实数λ、μ,使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c
∵{a,b,c}为基底
∴a,b,c不共面
∴1＝μ,1＝λ,0＝λ＋μ
此方程组无解
∴a＋b,b＋c,c＋a不共面

1、a,b,c为基底,所以a,b,c不共面.因为只有不共面的三个向量才能做基底.
2、如果a＋b,b＋c,c＋a共面,则存在实数λ、μ,使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)
因为解不出λ、μ,所以不存在λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a),所以a＋b,b＋c,c＋a不共面
再问： 我是想问是怎么解出1＝μ,1＝λ,0＝λ＋μ这个答案的！！
再答： a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c移项可得 （1-μ）a+(1-λ)b-(λ＋μ)c=0 因为a,b,c可作为基地，不相关，所以每一项分别等于0，所以每一项的系数等于0，所以 1-μ=0 1-λ=0 λ＋μ=0

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