求证：两角平分线相等的三角形是等腰三角形。

求证：两角平分线相等的三角形是等腰三角形。

若△ABC中，BD、CE是两条角平分线，且BD＝CE。则：AB＝AC。　　证明如下：
由三角形内角平分线长计算公式，有：
BD＝［1/（AB＋BC）］√｛AB×BC［（AB＋BC）^2－AC^2］｝，
CE＝［1/（AC＋BC）］√｛AC×BC［AC＋BC）^2－AB＾2］｝。
∵BD＝CE，
∴［1/（AB＋BC）］√｛AB×BC［（AB＋BC）^2－AC^2］｝
　＝［1/（AC＋BC）］√｛AC×BC［AC＋BC）^2－AB＾2］｝，
∴AB［（AB＋BC）^2－AC^2］/（AB＋BC）^2
　＝AC［AC＋BC）^2－AB＾2］/（AC＋BC）^2，
∴AB［（AB＋BC）^2－AC^2］（AC＋BC）^2
　＝AC［AC＋BC）^2－AB＾2］（AB＋BC）^2，
∴AB（AB＋BC）^2（AC＋BC）^2－AB×AC^2（AC＋BC）^2
　＝AC（AC＋BC）^2（AB＋BC）^2－AC×AB^2（AB＋BC）^2，
∴AB（AB＋BC）^2（AC＋BC）^2－AC（AC＋BC）^2（AB＋BC）^2
　＝AB×AC^2（AC＋BC）^2－AC×AB^2（AB＋BC）^2，
∴（AB－AC）（AB＋BC）^2（AC＋BC）^2
　＝AB×AC［AC（AC＋BC）^2－AB（AB＋BC）^2］
　＝－AB×AC［AB（AB＋BC）^2－AC（AC＋BC）^2］
　＝－AB×AC［AB（AB^2＋2AB×BC＋BC^2）－AC（AC^2＋2AC×BC＋BC^2）］
　＝－AB×AC（AB^3－AC^3＋2AB^2×BC－2AC^2×BC＋AB×BC^2－AC×BC^2）。
∴（AB－AC）［－（AB＋BC）^2（AC＋BC）^2/（AB×AC）］
　＝（AB－AC）（AB^2＋AB×AC＋AC^2）＋2BC（AB＋AC）（AB－AC）＋BC（AB－AC），
　＝（AB－AC）［（AB^2＋AB×AC＋AC^2）＋2BC（AB＋AC）＋BC］。
很明显，－（AB＋BC）^2（AC＋BC）^2/（AB×AC）是负数，
而（AB^2＋AB×AC＋AC^2）＋2BC（AB＋AC）＋BC是正数。
∴只有AB－AC＝0，∴AB＝AC。

这个看似容易的问题，其实是不容易证的。 证明这个题可以用反证法。△abc中角平分线bd=ce。 假设ab与ac不等，不妨设ab>ac。于是∠acb>∠abc。取其一半，∠bce>∠cbd。那么在△bce和△cbd中，bc公用，ce=bd，而夹角不等，故得be>cd。 以be、bd为两边作平行四边形ebdf，则ef=bd=ce，所以∠ecf=∠efc。 另一方面，df=be>cd，所以∠dcf>∠dfc。 于是得到∠ecd<∠efd=∠ebd，从而∠acb<∠abc。 所以abac相矛盾。所以得到结论成立。

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