设函数f（x）在[1，+∞）上连续，若由曲线y=f（x），直线x=1，x=t（t＞1）与x轴所围成的平面图形绕x轴旋

设函数f（x）在[1，+∞）上连续，若由曲线y=f（x），直线x=1，x=t（t＞1）与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V（t）=π3[t2f（t）-f（1）]．试求y=f（x）所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y|x＝2＝29的解．

函数f（x）在[1，+∞）上连续，由曲线y=f（x），直线x=1，x=t（t＞1）与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积
V＝
∫  t
1
πy2dx＝
∫  t
1
πf2(x)dx=
π
3 [t2f(t)?f(1)]
对t求导，既得：
πf2(t)＝
π
3 [2tf(t)+t2f′(t)]
3f2（t）=2tf（t）+t2f'（t）
f′(t)＝3
f2(t)
t2 ?2
f(t)
t
令u＝
f(t)
t ，则有：f（t）=ut
f'（t）=u+u't=3u2-2u
u't=3u2-3u

du
3u2?3u ＝
dt
t

1
3 (
1
u?1 ?
1
u )du＝
1
t dt

1
3 [ln|u?1|?ln|u|]＝ln|t|+C，C为任意常数．
即：
u?1
ut3 ＝C
代入u＝
f(t)
t ，
则：
f(t)?t
t3f(t) ＝C
即y=f（x）所满足的微分方程为：
y?x
x3y ＝C，C为任意常数．
该微分方程满足条件y|x＝2＝
2
9 ，则C＝

2
9 ?2
23×
2
9 ＝?1
从而，该微分方程满足条件y|x＝2＝
2
9 的解为：y-x+x3y=0．

带入p点坐标，得t=-3

f'=3x^2-2x

直线l的斜率为1

故，直线l方程为y=x-4

直线l与x轴交点为（4,0）

与y=√2x的交点为（-8-4√2，-4-4√2）

面积：8（√2+1）

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