【点P是△ABC内部任意一点,求证:当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,PA+PB+P】

【点P是△ABC内部任意一点,求证:当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,PA+PB+P】

设P是△ABC内一点,连PA,PB,PC.以AB为边向外作正三角形ABA‘,则A’为一确定点.以PB为边作正三角形BPP',由于P点是变动的,所以P'也是变动的.但是,因为BP=BP',BA=BA',∠PBA=∠P'BA'=60°-∠ABP',所以ΔABP≌ΔA'BP',故PA=P'A'.又因为PB=BP'=PP',所以有PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC.因为A'是定点,P是可选择的动点,且P'随P而变.现在我们要讨论的PA+PB+PC即是A',C之间的折线A'P'PC的长度何时取得最小值的问题了.显然,当这四点在同一直线上时,长度为最小.此时,因为∠PBP’=∠BP’P=60°,所以∠BPC=∠BP'A'=120°,即∠APB=120°,所以∠CPA=120°.这就是我们要求的结论.具体的P点位置:设△ABC的最大内角小于120°,分别以边BC,CA,AB为边向外作正△A'BC,正△AB'C,正△ABC'.则AA',BB',CC'交于一点P,P点就是的费马点.======以下答案可供参考======供参考答案1:做不了 那得看三角形多大

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