设数列an的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2的[N+1]次方求an的通项公式

设数列an的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2的[N+1]次方求an的通项公式

解：
n=1时，a1=S1=2a1-2²
a1=4
n≥2时，Sn=2an -2^(n+1) S(n-1)=2a(n-1)-2ⁿ
Sn-S(n-1)=an=2an-2^(n+1)-2a(n-1)+2ⁿ=2an-2a(n-1)-2ⁿ
an-2a(n-1)=2ⁿ
等式两边同除以2ⁿ
an/2ⁿ -a(n-1)/2^(n-1)=1，为定值。
a1/2=4/2=2，数列{an/2ⁿ}是以2为首项，1为公差的等差数列。
an/2ⁿ=2+n-1=n+1
an=(n+1)2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=(n+1)2ⁿ。

首先a1=S1=2a1-4
所以a1=4
an=Sn-S(n-1)=2an-2^(n+1)-2a(n-1)+2^n
那么an=2a(n-1)+2^n
以此类推an=2a(n-1)+2^n=2[2a(n-2)+2^(n-1)]+2^n=……=2(n-1)*a1+(n-1)*2^n
所以an=2^(n+1)+(n-1)*2^n =(n+1)*2^n ——n大于等于2时
由于a1=4 也符合
所以an=(n+1)*2^n

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