设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1 求f(x)的最小值h(t)

设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1 求f(x)的最小值h(t)

当t<0时无最小值

当t≥0时有最小值-t^3+t-1

对f(x)求导，f'(x)=2tx+2t^2=0

x=-t

h(t)=-t

f(x)=tx2+2t2x+t-1=t(x^2+2tx)+t-1=t(x+t)^2-t^3+t-1。

由上式知，若函数f(x)=tx2+2t2x+t-1有最小值，那么t>0。因为f(x)为抛物线，若有最小值，则开口向上，故t>0。

则f(x)最小值h(t)=-t^3+t-1，其中t>0。当f(x)最小的时候，x=-t。

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