已知P点在圆(x+1)平方+y平方=1上移动，Q点在椭圆x平方/9+y平方/4=1上移动，求绝对值PQ的最小值

已知P点在圆(x+1)平方+y平方=1上移动，Q点在椭圆x平方/9+y平方/4=1上移动，求绝对值PQ的最小值

令圆（x＋1）^2＋y^2＝1的圆心为A，则点A的坐标为（－1，0）。


连结AQ交⊙A于B，在⊙A上取点B外的任意一点为C，则A、C、Q构成了一个三角形。
显然有：｜CQ｜＋｜AC｜＞｜AQ｜＝｜BQ｜＋｜AB｜，而｜AC｜＝｜AB｜，
∴｜CQ｜＞｜BQ｜。
∴点P与点B重合，否则｜PQ｜就不是最小的。

∵｜AP｜是⊙A的半径，为定值，∴要使｜PQ｜取得最小值，就需要｜AQ｜取得最小值。
∵点Q在椭圆x^2/9＋y^2/4＝1上，∴可令点Q的坐标为（3cosθ，2sinθ）。
∴｜AQ｜＝√［（3cosθ＋1）^2＋（2sinθ－0）^2］，
∴｜AQ｜^2＝（3cosθ＋1）^2＋4（sinθ）^2＝9（cosθ）^2＋6cosθ＋1＋4（sinθ）^2，
∴｜AQ｜^2＝5（cosθ）^2＋6cosθ＋5＝5（cosθ＋3/5）^2＋16/5。

显然，当cosθ＋3/5＝0时，｜AQ｜^2有最小值＝16/5，∴｜AQ｜的最小值＝4/√5＝4√5/5。
∴｜PQ｜的最小值＝｜AQ｜的最小值－｜AP｜＝4√5/5－1。
即：｜PQ｜的最小值是 4√5/5－1。

这道题我思考了很久，我觉得单纯用专家的方法理论上是可以做出来的，但是里面的角度和三角函数很多很复杂，实在不好推导找到最大值。所以我考虑了另外一种方法。 设圆心为o，任取椭圆上一点q与圆上任一点p连接，分别连接op、oq，若pq不过圆心，则有三角形opq，恒有op+oq>pq，当pq过圆心时，op+oq=pq，所以op+oq≥pq，op就是圆的半径，所以可以得到椭圆上任一点到圆的距离都≤oq+r，所以椭圆上任一点q与o连接并延长qo与圆交于较远点p，点p就是圆上点距q的最远点。所以整个问题可以转化为求椭圆上距o点距离最远的点了。 椭圆中x=2cosa，y=sina |oq|^2=(2cosa)^2+(sina-4)^2=-3(sina)^2-8sina+20=-3*(sina+4/3)^2+76/3，求得sina=-1时有最大值为25 所以|oq|最大值为5，|pq|=|oq|+r=5+1=6

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息