求两条渐近线为x±2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为(8根号3)/3的双曲线方程。

求两条渐近线为x±2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为(8根号3)/3的双曲线方程。

设方程为 (x+2y)(x-2y)=k ，
将 y=x-3 代入得 (x+2x-6)(x-2x+6)=k ，
化简得 3x^2-24x+k+36=0 ，
设弦的端点为 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2=8 ，x1*x2=(k+36)/3 ，
因此 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(x2-x1)^2+(x2-x1)^2
=2(x2-x1)^2=2[(x1+x2)^2-4x1x2]
=2[64-4(k+36)/3]=64/3 ，
解得 k=4 ，
所以，所求双曲线方程为 (x+2y)(x-2y)=4 ，
化简得 x^2/4-y^2=1 。

渐近线为x±2y=0
y=±1/2x
所以b/a=1/2
所以a=2b

双曲线方程可设为
x^2/4b^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
与x-y-3=0联立
可得3y^2-6y+4b^2-9=0
设双曲线与直线交点为（x1,y1）,(x2,y2),则上述方程两根为y1,y2
则y1+y2=2,y1*y2=(4b^2-9)/3
x1-x2=(y1+3)-(y2+3)=y1-y2

而双曲线截直线所得弦长的平方
=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=2(y1-y2)^2
=2(y1^2+y2^2-2y1y2)
=2[(y1+y2)^2-4y1y2]
=2[4-4(4b^2-9)/3]
=8[1-(4b^2-9)/3]=(8√3/3)^2=64/3
所以1-(4b^2-9)/3=8/3
3-(4b^2-9)=8
b^2=1
解之得b=1（因为b>0）

所以双曲线方程为x^2/4-y^2=1(a>0,b>0)

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息