设函数f(x)=xlnx+4 若当x≥1时,恒有f(x)≤ax²-ax+4,求a的取值范围

设函数f(x)=xlnx+4 若当x≥1时,恒有f(x)≤ax²-ax+4,求a的取值范围

因为f(x)=xlnx+4,f(x)≤ax²-ax+4,x≥1所以lnx≤a(x-1),分离变量a≥lnx/(x-1)令g(x)=lnx/(x-1),求导g`(x)=(1-lnx-1/x)/(x-1)^2令t(x)=1-lnx-1/x,求导t`(x)=-1/x+1/x^2,因为t`(x）在x≥1时t`(x）≤0恒成立所以t(x)=lnx-1+1/x单减,又t(1)=0,所以g`(x)=(1-lnx-1/x)/(x-1)^2≤0在x≥1恒成立,且在x=1时g(x)=0即x〉1时g`(x)======以下答案可供参考======供参考答案1:因f(x)≤ax²-ax+4，f(x)=xlnx+4有xlnx+4≤ax²-ax+4,整理得，xlnx≤ax²-ax因x≥1时，xlnx≥0所以ax²-ax≥0，ax(x-1)≥0故a>0供参考答案2:xlnx≤ax²-axlnx≤a(x-1)1)当x=1时,a取任意实数2)当x不等于1时,同除以(x-1):a≥lnx/(x-1)恒成立a不小于函数y=lnx/(x-1)的最大值下面求出函数y=lnx/(x-1),当x＞1时的最大值即可y'=(1-1/x-lnx)/(x-1)^2 分子1-1/x-lnx单调减故y'＜0此时y无最大值,x趋向1,y趋向1.a≥1综上:a≥1

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