公约数证明，高中竞赛，高手来看看

若n∈N，m是奇数，则2^m-1，2^n+1最大公约数是1，要证明过程

首先你得知道，若a,b是正整数，那么存在正整数c,d，使得(a,b)=ac-bd。其中(a,b)表示a b的最大公约数
利用这个结论，那么存在正整数c,d，使得(2n,m)=2n*c-m*d
现在假设题目不成立，即存在质数p使得p|(2^n+1)和(2^m-1)。显然p是奇数
那么p|(2^(2nc)-1)和(2^(md)-1).所以p|这俩的差=2^(md)(2^(2nc-md)-1)
于是p|(2^(2nc-md)-1)。即p|2^((2n,m)-1)
但由n是奇数知(2n,m)=(n,m)。所以上式就是p|2^((n,m)-1)
又(n,m)|n。所以p|(2^n-1)。这与p|(2^n+1)矛盾！
于是命题得证

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