已知f(x)=log 2 (x+1)+alog2(1-x)是奇函数，求证f(x1)+f(x2)=f(x1+x2/1+x1x2)

已知f(x)=log 2 (x+1)+alog2(1-x)是奇函数，求证f(x1)+f(x2)=f(x1+x2/1+x1x2)

f(x)=log2(x+1)+alog2(1-x)是奇函数

则-1＜x＜1，且f(-x)+f(x)=0

∴log2(x+1)+alog2(1-x)+[log2(-x+1)+alog2(1+x)]=0

∴a=-1

f(x)=log2(x+1)+log2(1-x)

则f(x1)=log2(x1+1)-log2(1-x1)=log2[(x1+1)/(1-x1)]

同理，f(x2)=log2[(x2+1)/(1-x2)]

∴f(x1)+f(x2)=log2[(x1+1)(x2+1)/(1-x1)(1-x2)=log2[(x1x2+x1+x2+1)/(x1x2-x1-x2+1)]

∴f[(x1+x2)/(1+x1x2)]=log2{[(x1+x2)/(1+x1x2)+1]/[1-(x1+x2)/(1+x1x2)]}

=log2[(1+x1x2+x1+x2)/(1+x1x2-x1-x2)]

∴f(x1)+f(x2)=f[(x1+x2)/(1+x1x2)]

证明：由f(x)=log 2 (x+1)+alog2(1-x)是奇函数，有f(-x)=-f(x)，

即log 2 (-x+1)+alog2(1+x)=-log 2 (x+1)-alog2(1-x)

整理，得log 2 (1-x)+alog2(1+x)+log 2 (x+1)+alog2(1-x)=0

即(1+a)[log 2 (1-x)+log2(1+x)]=0

所以a=-1

即f(x)=log(1+x)/(1-x)(注：为避免混淆，对数的底2省略没写出，下同）

f(x1)+f(x2)=log(1+x1)/(1-x1)+log(1+x2)/1-x2)

=log[(1+x1)(1+x2)]/[(1-x1)(1-x2]=log(1+x1+x2+x1x2)/(1-x1-x2+x1x2)

而f[(x1+x2)/(1+x1x2)]=log[1+(x1+x2)/(1+x1x2)]/[1-(x1+x2)/(1+x1x2)]

=log[1+x1+x2+x1x2]/[1-x1-x2+x1x2]

故有f(x1)+f(x2)=f(x1+x2/1+x1x2)

f[(x1+x2)/(1+x1x2)]=f[1/(1+0.25)]=f(4/5)=log(9/5)-log(1/5)=log9=

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