求证：3(1²+2²+……+n²)=½n(n+1)(2n+1)，要求求证过程！
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解决时间 2021-01-25 04:10
- 提问者网友：wodetian
- 2021-01-24 20:39
求证：3(1²+2²+……+n²)=½n(n+1)(2n+1)，要求求证过程！
最佳答案
- 五星知识达人网友：举杯邀酒敬孤独
- 2021-01-24 21:58
1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=?
解：利用公式(x+y)^3=x^3+3x^2*y+3xy^2+y^3 为基础推导。则(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)=n(n+1)(2n+1)/2
解：利用公式(x+y)^3=x^3+3x^2*y+3xy^2+y^3 为基础推导。则(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)=n(n+1)(2n+1)/2
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