已知函数f（x）=g（x）+h（x^2）*g(x+2),其中h（t）=（e^t+e^-t）/2，
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解决时间 2021-03-25 21:24
- 提问者网友：半生酒醒
- 2021-03-25 03:54
已知函数f（x）=g（x）+h（x^2）*g(x+2),其中h（t）=（e^t+e^-t）/2，
最佳答案
- 五星知识达人网友：往事隔山水
- 2021-03-25 05:00
g(x)+h(x)=2^x，g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)=2^(-x)。
由以上两式解得：g(x)=[2^x-2^(-x)]/2、h(x)=[2^x+2^(-x)]/2。
g(2x)-ah(x)=[2^(2x)-2(-2x)]/2-a[2^x+2^(-x)]/2>=0。
即a[2^x+2^(-x)]<=[2^(2x)-2(-2x)]、a<=2^x-2^(-x)。
因为2^x-2^(-x)是增函数，所以2^x-2^(-x)在区间[1,2]上的最小值是2-2^(-1)=3/2。
不等式g(2x)-ah(x)>=0对任意x∈[1,2]恒成立等价于a<=3/2。
所以实数a的取值范围是(-无穷,3/2]。
由以上两式解得：g(x)=[2^x-2^(-x)]/2、h(x)=[2^x+2^(-x)]/2。
g(2x)-ah(x)=[2^(2x)-2(-2x)]/2-a[2^x+2^(-x)]/2>=0。
即a[2^x+2^(-x)]<=[2^(2x)-2(-2x)]、a<=2^x-2^(-x)。
因为2^x-2^(-x)是增函数，所以2^x-2^(-x)在区间[1,2]上的最小值是2-2^(-1)=3/2。
不等式g(2x)-ah(x)>=0对任意x∈[1,2]恒成立等价于a<=3/2。
所以实数a的取值范围是(-无穷,3/2]。
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