设f(x)=∫(1,x)int/(1+t) dt,证明f(x)+f(1/x)=1/2ln^2x

设f(x)=∫(1,x)int/(1+t) dt,证明f(x)+f(1/x)=1/2ln^2x

f(x)=∫(1,x)lnt/(1+t) dt
故
f(1/x)=∫(1,1/x)lnt/(1+t) dt
令u=1/t,则dt= -1/u^2du
所以
f(1/x)=∫(1,1/x)lnt/(1+t) dt
=∫(1,x)ln(1/u)/(1+1/u)(-1/u^2)du
= ∫(1,x)lnu/(1+u)udu
=∫(1,x)lnu/udu-∫(1,x)lnu/(1+u)du (因为1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1))
=1/2ln^2x |(1,x)-∫(1,x)lnu/(1+u)du
=1/2ln^2x -f(x)
故f(x)+f(1/x)=1/2ln^2x追问

f(1/x)=∫(1,1/x)lnt/(1+t) dt
      =∫(1,x)ln(1/u)/(1+1/u)(-1/u^2)du
      = ∫(1,x)lnu/(1+u)udu

点解1的∫(1,1/x)变成了2.的∫(1,x)
2又怎样算成3的呢？
追答额
令u=1/t,则dt= -1/u^2du t=1/u j就是换进去

f(1/x)=∫(1,1/x)lnt/(1+t) dt
=∫(1,x)ln(1/u)/(1+1/u)(-1/u^2)du

ln(1/u)= -lnu (-1/u^2)[1/(1+1/u)]= -1/[u^2(1+1/u)]= -1/ [u(u+1)]
故
∫(1,x)ln(1/u)/(1+1/u)(-1/u^2)du
= ∫(1,x)lnu/(1+u)udu追问点解1的∫(1,1/x)变成了2.的∫(1,x)点解可以甘变的呢，明明是1/x追答这个是因为原来变量是t 的范围(1/1/x)
令u=1/t后积分变量是u，u=1/t 它的范围是(1,x)

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