求面积积分x^2dydz+y^2dxdz,其中z=x^2+y^2与z=x围成的曲面
答案:2 悬赏:60 手机版
解决时间 2021-01-03 09:15
- 提问者网友：姑娘长的好罪过
- 2021-01-02 17:37
急取下侧
最佳答案
- 五星知识达人网友：迟山
- 2021-01-06 20:30
将所截的曲面想象下，后面项值为0,只需要算第一项就行了，积分区域投影算吧
全部回答
- 1楼网友：大漠
- 2021-01-06 20:42
补平面σ1：z=0，x²+y²≤1，下侧，则该平面与原来曲面构成封闭曲面，可以用高斯公式
∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy
=2∫∫∫(x+y+z)dxdyz
由于积分区域关于xoy面和xoz面对称，因此x，y的积分均为0，被积函数只剩下z
=2∫∫∫ z dxdyz
用截面法
=2∫[0→1] z dz∫∫ 1 dxdy 其中二重积分的积分区域为：x²+y²≤1-z²，该区域面积：π(1-z²)
=2π∫[0→1] z(1-z²) dz
=π(z²-(2/4)z³) |[0→1]
=π/2
然后将σ1上的积分减去
∫∫(σ1) x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=0
因此原积分=π/2-0=π/2
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